在上一篇《道生一，一生二，二生三，三生万物》中，我们提到任意的运算都可以由与、或、非三种基本的逻辑运算实现。这篇文章将通过一个例子对其作出一个直观的解释。

下面真值表中所表示的逻辑运算有三个输入，A，B，Cin，两个输出，Cout和S。

细心的朋友可能会发现，这个真值表实现了加法的功能。其中

• Cout代表相加后是否产生进位
• S代表相加后不考虑进位的和
• A，B代表加数
• Cin代表低位送来的进位。

先以大家熟悉的以十进制加法为例，当计算的78+29时，我们首先进行个位的加法。此时

• A = 8, B = 9, Cin = 0，A + B + Cin = 17

由于产生了进位，Cout = 1, S = 7。现在计算十位：

• A = 7, B = 2, Cin = 个位的Cout = 1， A + B + Cin = 10

三个数相加后又产生了进位，因此Cout = 1, S = 0。我们把最后得出的Cout，十位的S， 个位的S串起来，就得到了正确答案107。对于二进制加法，其原理和十进制是一样的，只不过由原来的逢十进一变成了逢二进一，如下：

• 0 + 0 + 0 = 0
• 0 + 0 + 1 = 1
• 0 + 1 + 1 = 10（进位，等于十进制中的“2”）
• 0 + 1 + 1 = 11（进位，等于十进制中的“3”）

上述的基本二进制加法正是真值表中所表述的运算，那么我们怎么用与、或、非三种操作，来表示计算结果Cout和S呢？以输出S为例，如果使用通俗的语言，那就是：

• 当[A, B, Cin] = 001，或者[A, B, Cin] = 010，或者[A, B, Cin] = 100, 或者[A, B, Cin] = 111时，S的值为1。

如果我们把四种[A, B, Cin]的取值分别写作T1, T2, T3, T4，那么从逻辑运算的角度出发：

• S = T1 OR T2 OR T3 OR T4

一般我们用加号表示“或”运算，所以上式也可以写作

• S = T1 + T2 + T3 + T4（不要与数值运算中的加号混淆）

现在问题被成功的转化为如何用A, B, Cin来表示T1, T2, T3, T4。以T1 = [A, B, Cin] = 001为例，我们需要：

• A不等于1，并且B不等于1，并且Cin等于1。

用逻辑运算的语言来描述，则是：

• T1 = (NOT A) AND (NOT B) AND Cin

一般我们用A'表示NOT A, 用AB直接表示A AND B，进一步化简可得：

• T1 = A'B'Cin

我们用反复使用同样的思路和方法，可以轻松得出：

• S = A'B'Cin + A'BCin' + AB'Cin' + ABCin
• Cout = A'BCin + AB'Cin + ABCin' + ABCin

这就是为什么我们可以通过与、或、非三种操作实现任意的逻辑运算。当然在实际的设计中，有许多逻辑运算可以被化简，例如ABCin' + ABCin = AB(Cin' + Cin) = AB，不过这不在本文的讨论的范围中，也并不影响上述结论。